Százalékszámítás, 100% hogy megérted!

Összetett százalékszámítási feladatok

1. Feladat - Közepes

A gazdasági helyzet romlása miatt a forintot kedden 3%-al leértékelik, csütörtökön további romlás következik be, aminek következtében újabb 2%-ot esik a forint árfolyam. Mennyivel ér kevesebbet péntekre a forint a hét eleji árához képest.

Kérdés buktató

Százalékláb módosítás buktató

Adat túlzsúfolás buktató

Adattípus cserélődés buktató

Adatkinyerés:

A fenti buktatók mindegyike jelen van, ha ezeket azonosítjuk, és végigkövetjük, mi történik, már egyszerűen megoldható a feladat.

  1. Az ismeretlen árú forintot, leértékelik 3%-al
  2. Az így kapott ismeretlen árat ismét leértékelik, újabb 2%-al
  3. Kérdés az így kapott érték mennyivel kevesebb a kiinduló értéknél

Mivel csak %-os értékeink vannak a feladatban szükséges, hogy pótoljuk az alapot mégpedig egy 100% értékkel, így már könnyebben értelmezhető a feladat, de jegyezzük meg hogy a 100% végén található %-jel ilyenkor úgy viselkedik mintha mértékegység (pl.:Ft lenne), vagyis nem kell kiszámolni. Ha ez behelyettesítjük a feladat így oldható meg 3 rövid lépésben:

1. Lépés
Az 100% árú forintot, leértékelik 3%-al

Adatok:
a = 100%
- A % itt mértékegységként értelmezendő, mintha 100 Ft írtál volna ide
szl = 97%
- Mivel 3%-os a leértékelés így 97% marad

Képlet:

$$szé = {a}/100 * szl$$

Képlet behelyettesítve és számítás:

$$szé = {100%}/100 * 97$$$$szé = 0,1% * 97$$$$szé = 97%$$

Ne lepődjünk meg, ez a számítás igen egyszerű hisz fejben is kiszámolható. Ez a lépés viszont jól mutatja, hogy is viselkedik a 100% mint "Ft" érték. A szé értéke egy % jeles érték lesz annak ellenére, hogy a % mindig az szl-hez szokott tartozni, ennek oka mint azt már említettem, hoyg a % itt mértékegységet jelöl nem műveletet. Jöjjön a következő lépés

2. Lépés
Az 97% árú forintot, leértékelik 2%-al. Tulajdonképpen ugyanaz történik mint az előbb, csak itt a kiindulás a már leértékelt forint, azaz 97%.

Adatok:
a = 97%
- A % itt mértékegységként értelmezendő
szl = 98%
- Mivel 2%-os a leértékelés így a 98% marad a leértékelés előtti árból.

Képlet:

$$szé = {a}/100 * szl$$

Képlet behelyettesítve és számítás:

$$szé = {97%}/100 * 98$$$$szé = 0,97% * 98$$$$szé = 95,06%$$

Tehát megkaptuk a 2 leértékelés utáni értéket, az is jól látszik, hogy a feladat ugyan egy 3%-os és egy 2% leértékelést tartalmazott a teljes leértékelés nem 5%, azaz %-ok ilyen módon nem adhatóak össze. A feladat harmadik lépése az, hogy a kiinduló kérdésre válaszoljunk:

3. Lépés

A heti összes csökkenés:

$$100% - 95,06% = 4,94%$$

Válasz:
A heti árfolyam összesen 4,94% volt.



2. Feladat - Közepes

A tej tömegének 7,3%-a tejszín. A tejszín tömegének 62%-a vaj. Hány kg tejből készíthető 5 kg vaj?

Adatkinyerés:

Ez összetettebb feladatokat többször is el kell olvasni, meg kell érteni mit is ír le a feladat. Ebben az esetben a vajkészítést írja le. Ilyenkor érdemes átgondolni mi is történik SORRENDBEN a feladatban.

  1. A kiindulási (ismeretlen) tejmennyiség 7,3%-ból tejszín lesz.
  2. Az így kapott tejszín mennyiség (szintén ismeretlen) 62%-ból lesz vaj.
  3. Így kell kapnunk 5Kg vajat.

Mivel az eredményt ismerjük és a kiindulási értékeket nem, tudhatjuk, hogy a százalékértékünk van meg, hiszen a tejből időrendben később készül el a vaj, ráadásul két lépésben. Így a feladatot is két lépésben kell megoldanunk. Mégpedig visszafelé, elősször a vajból "készítünk" tejszínt, aztán a tejszínből tejet.

1. Lépés
Megkeressük, hogy az 5Kg vaj mennyi tejszínből keletkezett, azt tudjuk, hogy a megkapott 5Kg vaj az eredeti mennyiség 62%-a.

Adatok:
szé = 5Kg
szl = 62%

Képlet:

$$a = {szé}/{szl} * 100$$

Képlet behelyettesítve és számítás:

$$a = {5 kg}/62 * 100$$$$a = 0, 8064 kg% * 100$$$$a = 80,64 kg%$$

Válasz:Tehát 80,64Kg tejszínünk volt eredetileg.

2. Lépés
A következő kérdés, hogy ez mennyi tejből lett.

Adatok:
szé = 80,64 kg
szl = 7,3%

Képlet:

$$a = {szé}/{szl} * 100$$

Képlet behelyettesítve és számítás:

$$a = {80,64 kg}/7,3 * 100$$$$a = 1,105 kg% * 100$$$$a = 110,5 kg%$$

Válasz:
5Kg vaj 110,5Kg tejből készíthető.



3. Feladat - Nehéz

Két szám összege 2250. Az egyiknek a 12%-a egyenlő a másiknak a 18%-ával. Melyik ez a két szám?

Adatkinyerés:

A feladat több nehézséget is rejt, megoldásához mindenképpen szükség lesz egy egyenlet felírására. Két számot keressünk, melyekről tudjuk, hogy összegük 2250. Annak ellenére, hogy ez szintén egy százalékszámításos feladat, nem a már ismert képletekre lesz szükség, hanem egy jól megírt egyenletre. Nem véletlenül számít nehéznek ez a feladat. Belekóstolunk egy kicsit ebbe is, a könnyű érthetőség miatt nagy részletességgel írom le a gondolatmenetet, lehet, hogy lesz, akinek ez túl szájba rágós, azoktól elnézést kérek.

1. lépés
Ismeretlenek meghatározása

Az "egyik" számot jelöljük X-el.
A "másik" számot jelöljük Y-al.

Ez alapján leegyszerűsítjük / átírjuk a feladat szövegét.

X és Y számok összege 2250. X-nek a 12%-a egyenlő Y-nak a 18%-ával. Mennyi X és Y?

2. Lépés
Első mondat feldolgozása matematikailag

Amikor két ismeretlened van, akkor arra kell törekedni, hogy a másodikat kifejezd az első, és az többi megadott adatok segítségével, ez a feladat első mondata alapján könnyen megtehető.

X és Y számok összege 2250.  

Matematikailag felírva:

$$x + y = 2250$$

Ebből kifejezhető az y

$$x + y = 2250$$$$y = 2250 - x$$

$$/ -x$$

3. Lépés
Második mondat feldolgozása matematikailag

Ha ezzel megvagy, akkor kell, felírj egy újabb egyenletet, melyben csak egy ismeretlened lesz, ez a második mondatból írható fel.

X-nek a 12%-a egyenlő Y-nak a 18%-ával.

Matematikailag felírva:

$$x * 12% = y * 18%$$

Mivel Y-t előzőekben már kifejeztük, behelyettesítjük, hogy csak 1 ismeretlen maradjon az egyenletben

$$x * 12% = (2250 - x) * 18%$$

Mivel a százalék jel felírható valaminek a század részeként is, így néz ki a végleges egyenlet:

$$x * 0,12 = (2250 - x) * 0,18$$

Ez pedig az X szokásás elhelyezésével (x jel a szám után, és * jel elhagyása), felírható a megszokott egyenlet formában:

$$0,12x = (2250 - x) * 0,18$$

Ezt már csak meg kell oldani

$$0,12x = (2250 - x) * 0,18$$

$$ /Zárójel felbontás$$

$$0,12x = 405 - 0,18x$$

$$ /+0,18x$$

$$0,3x = 405$$

$$/:0,3$$

$$x = 1350$$

Tehát az X, vagyis az egyik szám 1350, a fentebb felírt egyszerű képletből kiszámolható az Y

4. Lépés
Y kiszámítása

$$y = 2250 - x$$$$y = 2250 - 1350$$$$y = 900$$

Válasz:
A keresett két szám közül az első 1350, a második 900.